Derivationen und Differentiale

Der folgende Abschnitt bringt einige Definitionen aus [Sti97] IV.1. Dort finden sich auch Beweise der in den Definitionen eingeschobenen Bemerkungen und einiges mehr zum Thema Derivationen und Differentiale.

Definition 3 (Derivation)   Sei $M$ ein Vektorraum über einem Funktionenkörper³ $F/K$. Eine Derivation (von $F/K$) ist eine $K$-lineare Abbildung $\delta \colon F \to M$, die die Produktregel

$$\delta(u \cdot v) = u \cdot \delta(v) + v \cdot \delta(u)$$ (2)

für alle $u, v \in F$ erfüllt.

Aus (2) ergeben sich u.a. folgende Eigenschaften:

1. $\delta(a) = 0$     $(a \in K)$.
2. $\delta(z^n) = nz^{n-1} \cdot \delta(z)$ für $z \in F$, $n \geq 0$.
3. $\mathop{\rm char} \nolimits (K) = p > 0 \Rightarrow \delta(z^p) = 0$ für alle $z \in F$.
4. $\delta(x/y) = (y \cdot \delta(x) - x \cdot \delta(y))/y^2$ $(x, y \in F, y \neq 0)$.

Beweis: Die Aussagen ergeben sich sofort durch Nachrechnen anhand der Definition, Regel 3, die für die Funktionsweise des Verfahrens wesentlich ist, ergibt sich aus den Regeln darüber und mit der aus der Algebra bekannten Regel $pz = 0 \quad \forall z \in F$, wenn $p = \mathop{\rm char} \nolimits (K)$.fill

Definition 4 (Derivation bezüglich $x$)   Sei $x$ ein separierendes transzendentes Element des Funktionenkörpers $F/K$. Die eindeutige Derivation $\delta_x \colon F \mapsto F$ von $F/K$ mit der Eigenschaft $\delta_x(x) = 1$ wird die Derivation bezüglich $x$ genannt.

Definition 5 (Differential)   Auf $Z := \{(u, x) \in F \times F : x \text{ ist separabel} \}$ definieren wir eine Äquivalenzrelation $\sim$ durch

$$(u, x) \sim (v, y) :\Longleftrightarrow v = u \cdot \delta_y(x) .$$

Die Äquivalenzklasse von $(u, x) \in Z$ bezüglich $\sim$ schreiben wir als $u dx$ und nennen sie Differential von $F/K$. Die Äquivalenzklasse $(1, x)$ wird einfach mit $dx$ bezeichnet.

Eine mehr funktorielle Definition von Differentialen und des Differentialmoduls findet man in [Har77] II.8.