Divisoren

Definition 6 (Divisor, Divisorengruppe, Grad)   Die Divisorengruppe $\mathop{\rm Div} \nolimits (C)$ einer Kurve $C$ ist die von den Punkten erzeugte freie abelsche Gruppe, d.h. ein Divisor  $D \in \mathop{\rm Div} \nolimits (C)$ ist eine formale Summe

$$D = \sum_{P \in C} n_P P$$

mit $n_P \in \mathbbm{Z}$ und $n_P = 0$ für fast alle $P \in C$.

Der Grad von $D$ ist definiert als

$$\deg D = \sum_{P \in C} n_P .$$

Definition 7 (Hauptdivisor)   Ein Divisor ist ein Hauptdivisor, wenn er die Form

$$(f) = \sum_{P \in C} \mathop{\rm ord} \nolimits _P(f) P$$

mit einer rationalen Funktion (in diesem Fall ,,Polynom durch Polynom``) $f$ besitzt. $\mathop{\rm ord} \nolimits _P(f)$ bezeichnet hierbei die Nullstellenordnung der Funktion $f$ am Punkt $P$.

Definition 8 (lineare Äquivalenz von Divisoren)   Zwei Divisoren $D_1, D_2$ heißen linear äquivalent, wenn $D_1 - D_2$ ein Hauptdivisor ist.

Definition 9 (Divisoren von Grad $0$)   Die Gruppe

$$\mathop{\rm Div} \nolimits ^0(C) := \{ D \in \mathop{\rm Div} \nolimits (C) : \deg D = 0\}$$

bezeichnen wir als Gruppe der Divisoren von Grad $0$, sie enthält also die Divisoren, deren Koeffizienten sich zu $0$ addieren und bildet eine Untergruppe von $\mathop{\rm Div} \nolimits (C)$.

Definition 10 (Divisorenklassengruppe)   Die Divisorenklassengruppe (oder Picard-Gruppe) von $C$, bezeichnet mit $\mathop{\rm Pic} \nolimits (C)$ ist der Quotient von $\mathop{\rm Div} \nolimits (C)$ durch die Untergruppe der Hauptdivisoren.

Der Grad $0$-Teil der Divisorenklassengruppen von $C$, bezeichnet $\mathop{\rm Pic} \nolimits ^0(C)$ ist der Quotient von $\mathop{\rm Div} \nolimits ^0(C)$ durch die Untergruppe der Hauptdivisoren.

Eine elliptische Kurve $E$ ist isomorph zum Grad $0$-Teil der Divisorenklassengruppe, wobei ein Punkt $Q$ einem Divisor $D_Q = \sum n_T T$ entspricht, wenn $Q$ in $E$ eine Summe der Punkte $T$ mit Vielfachheit $n_T$ ist. Ist ferner $Q \in \langle P \rangle$, dann ist $pD_Q$ ein Hauptdivisor, geschrieben $(f_Q) = pD_Q$ für eine Funktion $f_Q$ auf $E$.