Warum funktioniert das Verfahren?

Im folgenden nehmen wir an, daß der Punkt $P \in E(\mathbbm{F}_q)=: E$ eine Untergruppe der Ordnung $p$ erzeugt. Weiterhin sei $R \in \langle P \rangle \setminus \{\mathcal{O}\}$ fest. Ferner notieren wir mit $t_R$ einen lokalen Parameter am Punkt $R$ (dessen Koordinaten $(x_R, y_R)$ seien, falls $R \neq \mathcal{O}$). Wenn $R$ nicht die Ordnung $2$ besitzt und auch nicht $\mathcal{O}$ ist, dann sei $t_R = x - x_R$. Falls $R \neq \mathcal{O}$ von Ordnung $2$ ist (dann hat $R$ die Koordinaten $(x_R, 0)$), dann sei $t_R = y$. Schließlich sei $t_{\mathcal{O}} = x/y$.

Abkürzend wird oft die Schreibweise $f' = \frac{df}{dx}$ (analog für andere Funktionen) verwendet.

Lemma 1   Sei $f$ eine Funktion auf $E$, so daß $(f) = pD$ für einen Divisor $D$, der kein Hauptdivisor ist, und $f'=df/dx$ die Derivation von $f$ bezüglich $x$. Dann ist $(f') = (f) - (y)$.

Beweis: Sei $\mathop{\rm ord} \nolimits _Q(\cdot)$ die Bewertung am Punkt $Q$ und $D = \sum n_Q Q$. Setze nun $f = t_Q^{pl_Q}f_1$, wobei $f_1$ regulär im Punkt $Q$, $f_1(Q) \neq 0$.

Zuerst betrachten wir den Fall, daß $Q$ nicht im Divisor der Funktion $y$ ist, d.h. $Q$ hat weder Ordnung $2$ noch gilt $Q=\mathcal{O}$. Also ist $df/dx = df/d(x-x_Q) = t_Q^{pl_Q}df_1/dt_Q$. Die Funktion $df_1/dt_Q$ ist im Punkt $Q$ regulär ([Sil86]). Dann ist $\mathop{\rm ord} \nolimits _Q(f') = pl_Q + m_Q$ mit $m_Q = \mathop{\rm ord} \nolimits _Q(df_1/dt_Q) \geq 0$.

Sei nun $Q$ von Ordnung $2$, dann gilt

$$\frac{df}{dx} = \frac{df}{dy} \frac{dy}{dx} = y^{pl_Q} \frac{3x^2+A}{2y} \frac{df_1}{dy}$$

mit $dy/dx=(3x^2+A)/2y$. Da $\mathop{\rm ord} \nolimits _Q((3x^2+A/2y))=-1$, ist in diesem Fall $\mathop{\rm ord} \nolimits _Q(f')=pl_Q+m_Q-1$ mit $m_Q = \mathop{\rm ord} \nolimits _Q(df_1/dt_Q) \geq 0$.

Als letztes betrachten wir nun $Q=\mathcal{O}$. Dann ist

$$\frac{df}{dx} = \frac{df}{d\frac{x}{y}} \frac{d\frac{x}{y}}{... ...right)^{pl_Q} \frac{-x^3+Ax+B}{2y^3} \frac{df_1}{d\frac{x}{y}}$$

mit $d(x/y)/dx = (-x^3+Ax+B)/2y^3$. Also erhalten wir $\mathop{\rm ord} \nolimits _Q(f') = pl_Q + m_Q + 3$, da $\mathop{\rm ord} \nolimits _{\mathcal{O}}((-x^3+Ax+B)/2y^3) = 3$ und $m_Q = \mathop{\rm ord} \nolimits _Q(df_1/dt_Q) \geq 0$.

Sei nun $D_1 = \sum m_Q Q$. Wir wir gerade gesehen haben, ist $D_1$ ein nichtnegativer Divisor, da aber andererseits $(f') = (f) - (y) + D_1$, ist $D_1$ ein Hauptdivisor. Somit gilt $D_1 = 0$ und die Behauptung ist bewiesen.fill

Lemma 2  

$$\begin{array}{cccl} \phi \colon & \langle P \rangle & \longr... ...ac{f'_Q}{f_Q} (R)\\ & \mathcal{O}& \longmapsto & 0 \end{array}$$

$\phi(Q)$ ist wohldefiniert und eine (injektive) Einbettung von $\langle P \rangle$ in die additive Gruppe von $\mathbbm{F}_q$.

Beweis: Zuerst zeigen wir, daß $\phi$ wohldefiniert ist. Seien $D'_Q, D_Q$ linear äquivalente Divisoren. Also gibt es nach der Definition von linearer Äquivalenz bei Divisoren (Def. 8) und der Definition von Hauptdivisor (Def. 7) eine Funktion $g$, so daß $(g) = D_Q-D'_Q$. Wenn nun also $(f) = pD'_Q$, dann ist $g^p f = f_Q$; denn

$$(g^p f) = p (g) + (f) = p(D_Q-D'_Q)+pD'_Q = pD_Q - pD'_Q + pD'_Q = pD_Q = (f_Q) .$$

Es gilt $f'_Q/f_Q = f'/f$, da

$$f'_Q= (g^p)' f + g^p f' = p g^{p-1} + g^p f' = g^p f'$$

nach den Rechenregeln bei Derivationen aus 3.1 und somit

$$\frac{f'_Q}{f_Q} = \frac{g^p f'}{g^p f} = \frac{f'}{f}.$$

Bei diesem Schritt benötigen wir auch, daß $\vert\langle P \rangle \vert = p$, da ansonsten die Bedingung $f'_Q = g^p f'$ nicht gelten würde, so ist nun aber $\phi(Q)$ wohldefiniert.

Nun kann man immer $D_Q$ rational über $\mathbbm{F}_q$ wählen und so erhält man $f'_Q/f_Q(R) \in \mathbbm{F}_q$, da $R$ als Punkt der elliptischen Kurve rational über $\mathbbm{F}_q$ ist.

Um nun zu zeigen, daß $\phi$ ein Homomorphismus ist, sei $Q_i \in \langle P \rangle$ und $(f_{Q_i}) = pD_{Q_i}, i = 1, 2$. Wir setzen außerdem $D_{Q_1+Q_2} = D_{Q_1} + D_{Q_2}$. Nun ist

$$(f_{Q_1+Q_2}) = pD_{Q_1+Q_2} = (f_{Q_1} f_{Q_2}) ,$$

und deshalb sind die Funktionen $f_{Q_1+Q_2}$ und $f_{Q_1} f_{Q_2}$ bis auf eine multiplikative Konstante gleich. Daher ist nun

$$\frac{f'_{Q_1+Q_2}}{f_{Q_1+Q_2}} = \frac{f_{Q_1} f'_{Q_2} + f... ...} f_{Q_2}} = \frac{f'_{Q_1}}{f_{Q_1}}+\frac{f'_{Q_2}}{f_{Q_2}}$$

und $\phi$ ein Homomorphismus.

Da $\phi$ auf $\langle P \rangle$ nicht verschwindet, ist es injektiv und somit ein Monomorphismus. Die Konstruktion dieses Monomorphismus kann auch aus einem allgemeinen Ergebnis von Serre ([Ser58, S. 40-41]) ableiten.fill