Elliptische Kurven

Abbildung: $E(\mathbbm{F}_{23})$ definiert durch $y^2=x^3+x$

Definition 1 (elliptische Kurve)   Eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ ist die Menge $E(K)$ bestehend aus allen Lösungen in $K \times K$ einer affinen Gleichung der Form

$$y^2 = x^3 + Ax + B \qquad (A, B \in K, 4 A^3 + 27 B^2 \neq 0)$$ (1)

und einem zusätzlichen Punkt $\mathcal{O}$.

Die Einschränkung $4 A^3 + 27 B^2 \neq 0$ verhindert, daß die Gleichung singulär wird, die Bezeichnungen $A$ und $B$ wie in (1) werden im weiteren Verlauf dieses Textes auch für diese Parameter der elliptischen Kurve verwendet. Zusätzlich zu den Lösungen der Gleichung nimmt man noch einen weiteren Punkt $\mathcal{O}$ hinzu, die elliptische Kurve ist somit eine Teilmenge der projektiven Ebene mit $\mathcal{O}= [0, 1, 0]$. Anders ausgedrückt ist eine elliptische Kurve eine Kurve vom Geschlecht $1$ mit einem festgelegten Ursprung $\mathcal{O}$. Weiterhin ist anzumerken, da die Gleichung (1) eine nichtsinguläre Gleichung dritten Grades ist, schneidet eine Gerade $E(K)$ an genau drei Punkten.

Wir definieren uns nun eine Verknüpfung $+$ auf $E(K) =: E$ wie folgt: Seien $P, Q \in E$ und $L$ die Gerade, die $P$ und $Q$ verbindet (bzw. die Tangente an $E$, falls $P = Q$). $R$ sei nun der dritte Schnittpunkt von $L$ mit $E$ und $L'$ die Gerade, die $R$ und $\mathcal{O}$ verbindet. Dann ist $P+Q$ der Punkt, so daß $L'$ die Kurve $E$ an $R$, $\mathcal{O}$ und $P+Q$ schneidet, dies ist in Abb. 2 veranschaulicht. Für die geometrische Veranschaulichung mag es nützlich sein, sich den Punkt $\mathcal{O}$ als ,,Punkt im Unendlichen`` (hier also: ,,unendlich weit oben``) vorzustellen.

Abbildung: Veranschaulichung der Gruppenverknüpfung einer elliptischen Kurve

Man rechnet nach, daß diese Verknüpfung wohldefiniert ist und $(E, +)$ damit eine abelsche Gruppe mit $\mathcal{O}$ als Einheit bildet. Dieses Gruppengesetz kann man auch durch die entsprechenden Geradengleichungen explizit aufschreiben oder z.B. in [Sil86] III. §2 nachschlagen, so daß man nicht auf die graphische Veranschaulichung angewiesen ist.

Der Name ,,elliptische Kurve`` rührt daher, daß diese im Komplexen (d.h. $E(\mathbbm{C})$) die Riemannschen Flächen sind, die zu den Integralen der Bogenlängen von Ellipsen gehören, geometrisch haben sie wenig mit Ellipsen gemeinsam, Ellipsen haben Geschlecht $0$ und elliptische Kurven Geschlecht $1$.